import numpy as np
import sympy as sp
import sys, os
from Ch7Functions import *
from IPython.display import display, Latex
Le déterminant d'un produit¶
Soit $A$ et $B$ sont deux matrices carrées de taille $ n \times n$, le déterminant de $AB$ est le produit des déterminants de $A$ et $B$. $$\det AB = (\det A)(\det B) $$
Cependant, ceci n'est pas le cas pour l'addition ou la soustraction de matrices. En général, $$ \det (A \pm B) \neq \det A \pm \det B $$
Soit $A$ est une matrice de taille $n \times n$ et $A$ inversible, alors: $$\det A^{-1} = \frac{1}{\det A} $$
Soit $A$ et $B$ deux matrices semblables de taille $n \times n$. Le déterminant de $A$ est égal au déterminant de $B$. $$\det A = \det B$$
Exercice 1¶
Déterminez le déterminant de la matrice $C$
$$C = B A^{-1}$$
$$ A = \begin{pmatrix} -3 & 2 & 7 \\ 1 & -1 & 4 \\ 2 & 5 & -6 \\ \end{pmatrix}$$ $$B = \begin{pmatrix} -4 & 3 & 0 \\ 9 & -4 & -1 \\ -7 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix}$$
question7_4_1()
Exercice 2¶
Déterminez le déterminant de la matrice $C$. $$C = A B $$
$$ A = \left(\begin{matrix}1 & -2 & 0\\2 & 0 & -1\\1 & 1 & -1\end{matrix}\right)$$ $$ B = \left(\begin{matrix}-1 & 2 & -2\\-1 & 1 & -1\\-2 & 3 & -4\end{matrix}\right)$$
question7_4_2()
Exercice 3¶
En utilisant les régles données plus haut, vérifiez que $$\det(A+B) \neq \det(A) + \det(B) $$
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -6 \\ 5 & 2 & 2 \\ -2 & -4 & 9 \\ \end{pmatrix}$$ $$B = \begin{pmatrix} 5 & 0 & -2 \\ 10 & -3 & 7 \\ -1 & 4 & 1 \\ \end{pmatrix}$$
question7_4_3()
Complexité du calcul d'un déterminant (suite)¶
On a vu dans le notebook 7.2 que le calcul d'un déterminant en utilisant la définition donnée dans le cours 7.1 nécessitait énormément de calculs de sous-déterminants quand la taille de la matrice devenait importante ($n>10$). Dans certains domaines, il est nécessaire de calculer des determinant de matrices $(n \times n)$ avec $n>1000$. Utiliser la première définition du cours pour effectuer un tel calcul est impossible en pratique.
On peut utiliser la propiété donnée plus haut pour grandement reduire la complexité de cette operation. En effet, on peut factoriser $A$ comme $A = LU$ avec $L$ et $U$ des matrices triangulaire. On a donc que $\det A = \det L \cdot \det U$. Les determinants de $L$ et $U$ sont simplement les produits de leurs éléments diagonaux respectifs.